【梯形的面积公式】平行四边形的面积公式

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次名称。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。   判定  

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2.  
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.  
5. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
6.  
7. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
8.  
9. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
10.  

性质

 

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）   性质：   （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。   （简述为“平行四边形的两组对边分别相等” ）   （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。   （简述为“平行四边形的两组对角分别相等” ）   （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。 （简述为“平行四边形的邻角互补”）   （4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）   （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。   （简述为“平行四边形的对角线互相平分” ）   （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）   （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）   （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。   （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.   （10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。   （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。   （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。   （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。   （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。   （15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积   辅助线   一、连接对角线或平移对角线。   二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。   三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。   四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。   五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。   面积、周长   1、（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=a*h。   （2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sinα。   2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。   类别   1、平行四边形属于平面图形。   2、平行四边形属于四边形。   3、平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。   4、平行四边形属于中心对称图形。   例题   1．用边长分别为50cm，75cm，100cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，___________个为平行四边形。   2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。   3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。   4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足____对角相等_______，从对角线的关系看应满足______对角线互相平分_________。   5．已知E、F、G、H分别为ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。   二、选一选   6．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（C ）   A．AB∥CD，AD=BC   B．∠A=∠B，∠C=∠D   C．AB=CD，AD=BC   D．AB=AD，CB=CD   7．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）   A．3种 B．4种 C．5种 D．6种   8．下列结论正确的是（ ）   A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形   B．一边长为125cm，两条对角线长分别是100cm和150cm的四边形是平行四边形   C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形   D．对角线相等的四边形是平行四边形   9．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）   A．AB=CD，AD=BC   B．AB∥CD，AB=CD   C．AB=CD，AD∥BC   D．AB∥CD，AD∥BC   10．如图19－1－26，在ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）。   ①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE。   A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④   11．如图19－1－27，在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法中正确的有（ ）个。   ①图中共有三个平行四边形；   ②AF=BF，CE=BE，AD=CD；   ③EF=DE=DF；   ④图中共有三对全等三角形。   A．1 B．2 C．3 D．4   三、解答题   12．如图19－1－28，在ABCD中，E，F为BD上的点，BF=DE，那么四边形AECF是什么图形？试用两种方法证明。   13．已知：在△ABC中，AB=AC，EF是△ABC的中位线，分别交AB，AC于E，F，延长AB到D，使BD=AB，连接CD。求证：。   14．如图19－1－29，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。求证：四边形EGFH是平行四边形。   15．如图19－1－30，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。   四、思维拓展   16．如图19－1－31，在ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分。   17．如图19－1－32，△ABC是边长为100px的边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，试猜想： EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化？并说明你的理由。   五、中考热身   18．（2005年苏州市）如图19－1－33，在ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）。   A．∠1+∠2=180°   B．∠2+∠3=180°   C．∠3+∠4=180°   D．∠2+∠4=180°   答案：   1．六；三。2．AB∥CD或AD=BC。3．_{= ; =4．∠A=∠C，∠B=∠D，   ∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°；AO=CO，BO=DO5．平行四边形   6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B   12．平行四边形。方法一：连接AC，利用“对角线互相平分的四边形为平行四边形”来证明。   方法二：证△ABE≌△CDF， △AFD≌△CEB，利用“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”来证明。   13．提示：先证明△EBC≌△FCB，得CE=BF，再证。   14．先证△AEO≌△CFO，得OE=OF，同理可得OG=OH，所以四边形EGFH是平行四边形。   15．先证△EDB≌△CFE，可得BD=EF，ED=CF。∵BD=DA，CF=AF，∴ED=AF，EF=DA，∴四边形ADEF是平行四边形。   16．提示：连接GE，EH，HF，GF，先证GE=HF，再证GE∥HF即可。   17．其值为200px，且不随P位置的改变而变化。   理由：由△ABC为等边三角形可得△AGH也是等边三角形，   ∴GH=AG=AM+MG ①，   同理，△BMN也为等边三角形，   ∴MN=MB=MG+GB。②   ∵MN∥AC，EF∥AB，   ∴四边形AMPE为平行四边形，   ∴PE=AM，同理，BFPG也为平行四边形，   ∴PF=GB，   ∴EF=PE+PF=AM+GB。③   ①+②+③得EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2（AM+MG+GB）=2AB=2×4=200px。   18．D}