等比数列求和公式推导|等比数列求和公式
时间:2015-08-24 来源:热门资讯 点击：
等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
定义
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数（这个常数通常用q来表示），且数列中任何项
都不为0，
即：A(n+1)÷A(n)=q (n∈N*)，
这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如：
2、4、8、16......2^10
就是一个等比数列，其公比为2，
可写为 an=2×2(n-1）
公式
通项公式
推广式： 
求和公式
Sn=n*a1 (q=1) 
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
S∞=a1/(1-q) （|q|<1且n-> ∞）
(q为公比，n为项数）
S=（末项×公比-首项）÷（公比-1）
求和公式推导
（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1)
（3）Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
（4）a(n+1)=a1*q^n
（5）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)
性质
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；
④ 若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1
⑦数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=Pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中An表示A的n次方。
⑧当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。
推广式：
求和公式
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
S∞=a1/(1-q) （|q|<1且n-> ∞）
(q为公比，n为项数）
S=（末项×公比-首项）÷（公比-1）
求和公式推导
（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1)
（3）Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
（4）a(n+1)=a1*q^n
（5）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)
性质
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；
④ 若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1
⑦数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=Pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中An表示A的n次方。
⑧当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。